Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой. Обозначим сторону треугольника за $a$, а медиану (высоту) за $h$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется при проведении медианы. В нём:
— гипотенуза равна стороне треугольника $a$;
— один катет равен половине стороны треугольника $\frac{a}{2}$ (так как медиана делит сторону пополам);
— второй катет — это сама медиана $h = 13\sqrt{3}$.

3. По теореме Пифагора запишем соотношение между сторонами:
$a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

4. Выразим высоту $h$ через сторону $a$:
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$h^2 = \frac{3a^2}{4}$
Извлекая корень, получаем формулу высоты (медианы) равностороннего треугольника:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Подставим известное значение медианы $h = 13\sqrt{3}$ в эту формулу:
$13\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

6. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$13 = \frac{a}{2}$

7. Найдём сторону $a$:
$a = 13 \cdot 2$
$a = 26$

Ответ: 26

Источник: ФИПИ