Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $C$ (так как по условию $\angle C = 90^\circ$).

2. Вспомним определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

3. Для угла $B$ противолежащим катетом является сторона $A C$, а прилежащим катетом — сторона $B C$. Таким образом, мы можем записать формулу:
$tg B = \frac{A C}{B C}$

4. По условию задачи нам известны значения тангенса и одного из катетов:
$tg B = \frac{9}{7}$
$B C = 42$

5. Подставим эти значения в нашу формулу:
$\frac{9}{7} = \frac{A C}{42}$

6. Чтобы найти неизвестную сторону $A C$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов):
$7 \cdot A C = 9 \cdot 42$

7. Выразим $A C$:
$A C = \frac{9 \cdot 42}{7}$

8. Сократим дробь на $7$. Заметим, что $42 : 7 = 6$. Получаем:
$A C = 9 \cdot 6$
$A C = 54$

Ответ: 54

Источник: ФИПИ