Задание №15 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. Пусть сторона треугольника равна $a$, а его высота равна $h$.

Шаг 1. Связь высоты и стороны.
В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота, проведённая к основанию, образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является сторона $a$, а катетами — высота $h$ и половина стороны $\frac{a}{2}$ (так как в равностороннем треугольнике высота также является медианой).

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60^\circ) = \frac{h}{a}$

Отсюда выразим высоту через сторону:
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 2. Подстановка известных данных.
По условию задачи высота $h = 13\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$13\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Шаг 3. Нахождение стороны $a$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$13 = \frac{a}{2}$

Теперь найдём $a$, умножив обе части на 2:
$a = 13 \cdot 2$
$a = 26$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 26.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ