Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи $B H$ является высотой, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $B H A$ равен $90^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $A B H$. Так как $\angle B H A = 90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным.

3. В любом треугольнике сумма всех внутренних углов равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $A B H$ это правило записывается так:
$\angle B A H + \angle B H A + \angle A B H = 180^\circ$.

4. Нам известно, что $\angle B A C = 28^\circ$. Так как точка $H$ лежит на стороне $A C$, угол $\angle B A H$ совпадает с углом $\angle B A C$, то есть $\angle B A H = 28^\circ$.

5. Теперь найдём искомый угол $\angle A B H$, вычтя из общей суммы углов треугольника два известных угла:
$\angle A B H = 180^\circ - (\angle B A H + \angle B H A)$
$\angle A B H = 180^\circ - (28^\circ + 90^\circ)$
$\angle A B H = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

Также можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника: сумма острых углов равна $90^\circ$. Тогда:
$\angle A B H = 90^\circ - \angle B A H = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.

Ответ: 62

Источник: ФИПИ