Задание №15 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. Пусть сторона этого треугольника равна $a$, а его высота равна $h$.

1. Связь высоты и стороны.
В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковой стороной. По определению синуса угла в $60^{\circ}$ или по теореме Пифагора можно вывести формулу высоты:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подстановка известных данных.
По условию задачи высота $h = 9 \sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$9 \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

3. Нахождение стороны $a$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$9 = \frac{a}{2}$
Теперь выразим $a$, умножив обе части на $2$:
$a = 9 \cdot 2$
$a = 18$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна $18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ