Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $39^{\circ}$. Пусть $\angle HOB = 39^{\circ}$.

2) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что $\angle AOB = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (где $\angle OHB = 90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдём угол $HBO$:
$\angle HBO = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}$.

4) Угол $HBO$ — это то же самое, что угол $ABO$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Тогда весь угол $B$ ромба равен:
$\angle B = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 51^{\circ} = 102^{\circ}$.

5) Мы нашли один из углов ромба. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, найдём соседний угол $A$:
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$.

6) Сравним полученные углы: $102^{\circ}$ и $78^{\circ}$. Острым углом является угол, величина которого меньше $90^{\circ}$. Таким образом, острый угол ромба равен $78^{\circ}$.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ