Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC = 3$ — меньшее основание, $AD = 7$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $CHA = 90^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, найдём угол $ACH$:
$\angle ACH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Следовательно, треугольник $ACH$ — равнобедренный, так как углы при его гипотенузе равны. Значит, высота $CH$ равна отрезку $AH$: $CH = AH$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший — их полуразности.
Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2}$.
Подставим известные значения оснований:
$AH = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3) Так как мы ранее установили, что в треугольнике $ACH$ высота $CH = AH$, то искомая высота трапеции равна 5.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ