Задание №4 — Уравнения и неравенства

#52291Задание №4ФИПИ

Практическая задача

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать
по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь $—$ по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново
до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино
и по шоссе от Жилино до Богданово.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам $—$ со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки $—$ 4 км, от Егорки до Ванютино $—$ 12 км, от Горюново до Ванютино $—$ 15 км, от Ванютино до Жилино $—$ 9 км, а от Жилино до Богданово $—$ 12 км.

На шоссе машина дедушки расходует 5,5 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Егорку и Жилино мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Правильный ответ

7.7

Пояснение

Решение.

Для начала определим расположение населённых пунктов на плане, используя описание маршрутов:
1. Антоновка — пункт 1.
2. Путь через Ванютино с поворотом под прямым углом налево в Богданово: значит, Ванютино — пункт 4, а Богданово — пункт 7.
3. Путь через Доломино (пункт 2) до Горюново (пункт 6) по просёлочной дороге.
4. Путь через Егорку (пункт 3) до Жилино (пункт 5) мимо конюшни.
Таким образом: 1 — Антоновка, 2 — Доломино, 3 — Егорка, 4 — Ванютино, 5 — Жилино, 6 — Горюново, 7 — Богданово.

Найдём расстояния между пунктами по шоссе, используя данные задачи:
— $AD = 12$ км (от Антоновки до Доломино);
— $DE = 4$ км (от Доломино до Егорки);
— $EV = 12$ км (от Егорки до Ванютино);
— $VJ = 9$ км (от Ванютино до Жилино);
— $JB = 12$ км (от Жилино до Богданово).
Общая длина горизонтального участка шоссе (от Антоновки до Ванютино): $12 + 4 + 12 = 28$ км.
Общая длина вертикального участка шоссе (от Ванютино до Богданово): $9 + 12 = 21$ км.

Шаг 1. Расчёт расхода бензина на первом маршруте.
Первый маршрут: Антоновка $\rightarrow$ Ванютино $\rightarrow$ Богданово (полностью по шоссе).
Длина пути: $28 + 21 = 49$ км.
Расход на шоссе составляет $5,5$ л на $100$ км. Найдём количество потраченного бензина $V_1$ :
$V_1 = \frac{49 \cdot 5,5}{100} = \frac{269,5}{100} = 2,695$ литра.

Шаг 2. Расчёт расстояний для второго маршрута.
Второй маршрут: Антоновка $\rightarrow$ Егорка (шоссе) $\rightarrow$ Жилино (просёлок) $\rightarrow$ Богданово (шоссе).
1) Расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе: $12 + 4 = 16$ км.
2) Расстояние от Жилино до Богданово по шоссе: $12$ км.
3) Найдём длину просёлочной дороги от Егорки (3) до Жилино (5). Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершиной в Ванютино (4). Катеты этого треугольника: $EV = 12$ км и $VJ = 9$ км. По теореме Пифагора:
$EJ = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ км.

Шаг 3. Составление уравнения для расхода бензина.
Пусть $x$ — расход бензина на просёлочных дорогах (в литрах на $100$ км).
Суммарный расход на втором маршруте $V_2$ складывается из расхода по шоссе ( $16 + 12 = 28$ км) и по просёлку ( $15$ км):
$V_2 = \frac{28 \cdot 5,5}{100} + \frac{15 \cdot x}{100}$ .
По условию задачи $V_1 = V_2$ :
$2,695 = \frac{28 \cdot 5,5 + 15x}{100}$
$269,5 = 154 + 15x$
$15x = 269,5 - 154$
$15x = 115,5$
$x = 115,5 : 15$
$x = 7,7$ .

Ответ: 7,7

Источник: ФИПИ