Вариант 5 · Август 2026

Решение.

Чтобы определить, какому из промежутков принадлежит обыкновенная дробь $\frac{7}{9}$, нам необходимо перевести её в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель «уголком» или в столбик.

1. Разделим $7$ на $9$:
Так как $7$ меньше $9$, целая часть будет равна $0$.
Добавим к семёрке ноль и разделим $70$ на $9$. Ближайшее число, делящееся на $9$, — это $63$ ($9 \times 7 = 63$).
$70 - 63 = 7$. Снова сносим ноль и получаем $70$.
Видим, что цифра $7$ будет повторяться бесконечно.

2. Таким образом, $\frac{7}{9} = 0,777...$. Это бесконечная периодическая дробь, которую можно записать как $0,(7)$.

3. Теперь сравним полученное значение $0,777...$ с предложенными промежутками:
1) $[0,5; 0,6]$ — число $0,777...$ больше, чем $0,6$. Не подходит.
2) $[0,6; 0,7]$ — число $0,777...$ больше, чем $0,7$. Не подходит.
3) $[0,7; 0,8]$ — число $0,777...$ больше $0,7$, но меньше $0,8$. Подходит.
4) $[0,8; 0,9]$ — число $0,777...$ меньше, чем $0,8$. Не подходит.

Следовательно, число $\frac{7}{9}$ принадлежит промежутку под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойствами степеней. Нам нужно возвести произведение в скобках в квадрат и затем выполнить деление.

1. Вспомним правило возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$.
Применим это правило к числителю нашего выражения:
$(2\sqrt{6})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{6})^{2}$.

2. Вычислим значения полученных степеней:
$2^{2} = 4$;
По определению квадратного корня, при возведении корня в квадрат получается подкоренное выражение: $(\sqrt{6})^{2} = 6$.

3. Теперь перемножим эти результаты, чтобы найти значение числителя:
$4 \cdot 6 = 24$.

4. Подставим полученное значение обратно в дробь:
$\frac{24}{48}$.

5. Сократим дробь. Заметим, что число $48$ ровно в два раза больше, чем $24$. Разделим числитель и знаменатель на $24$:
$\frac{24 : 24}{48 : 24} = \frac{1}{2}$.

6. Переведем обыкновенную дробь в десятичную для записи ответа:
$\frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения необходимо перенести слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения (обычно влево), а свободные числа — в другую часть (вправо). При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

1. Перенесём $6x$ из правой части в левую со знаком «минус», а число $9$ из левой части в правую также со знаком «минус»:
$8x - 6x = -2 - 9$

2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части: $8x - 6x = 2x$.
В правой части: $-2 - 9 = -11$.
Получаем уравнение:
$2x = -11$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = -11 : 2$

4. Выполним деление:
$x = -5,5$

Ответ: -5,5

Источник: ФИПИ

Решение.

В каждой области диаграммы указано число исходов: вне кругов — 24, только в $A$ — 18, в пересечении $A$ и $B$ — 6, только в $B$ — 12.

Шаг 1. Общее число исходов.
$n = 24 + 18 + 6 + 12 = 60$.

Шаг 2. Число исходов, благоприятных событию $A \cup B$.
Событию «$A$ или $B$» отвечают все области внутри кругов:
$m = 18 + 6 + 12 = 36$.

Шаг 3. Вероятность.
$P(A \cup B) = \dfrac{36}{60} = 0{,}6$.

Ответ: 0,6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит $c < 0$. Это соответствует условию В.

График №2: Ветви направлены вниз, значит $a < 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит $c > 0$. Это соответствует условию А.

График №3: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует условию Б.

Сопоставим буквы и цифры:
А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой центростремительного ускорения, данной в условии: $a = \omega^{2} R$.

1. Выпишем значения величин, которые нам известны из условия задачи:
Угловая скорость $\omega = 8$ $с^{-1}$;
Центростремительное ускорение $a = 128$ $м/с^{2}$.

2. Нам необходимо найти радиус $R$. Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = \frac{a}{\omega^{2}}$.

3. Подставим известные числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{128}{8^{2}}$.

4. Выполним вычисления. Сначала возведём угловую скорость в квадрат:
$8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$.
Теперь найдём значение радиуса, разделив ускорение на полученный результат:
$R = \frac{128}{64} = 2$.

Таким образом, радиус окружности равен $2$ метрам.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $5$. Точки закрашены, значит, границы включены в решение. Это соответствует промежутку $x \in [0; 5]$.

Найдём корни соответствующих уравнений для каждого из предложенных неравенств, чтобы определить, какие из них имеют корни $0$ и $5$.

1) Для неравенств 1 и 3 рассмотрим уравнение $x^{2} - 5x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 5) = 0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Эти корни совпадают с числами на рисунке.

2) Для неравенств 2 и 4 рассмотрим уравнение $x^{2} - 25 = 0$.
$x^{2} = 25$, следовательно, $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Эти корни не подходят к нашему рисунку.

Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - 5x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $5$. Значения функции меньше или равны нулю ($f(x) \leq 0$) находятся между корнями, то есть на отрезке $[0; 5]$.
Значения функции больше или равны нулю ($f(x) \geq 0$) находятся по краям: $x \leq 0$ или $x \geq 5$.

На рисунке заштрихована область между корнями, что соответствует условию $x^{2} - 5x \leq 0$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем данные из условия задачи:
— Количество мест в первом ряду: $a_1 = 20$.
— Разность прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше): $d = 2$.
— Номер ряда, количество мест в котором нам нужно найти: $n = 10$.

2. Вспомним формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)$

3. Подставим наши значения в эту формулу, чтобы найти количество мест в десятом ряду ($a_{10}$):
$a_{10} = 20 + 2 \cdot (10 - 1)$

4. Выполним вычисления по порядку:
— Сначала действие в скобках: $10 - 1 = 9$.
— Затем умножение: $2 \cdot 9 = 18$.
— И, наконец, сложение: $20 + 18 = 38$.

Таким образом, в десятом ряду амфитеатра 38 мест.

Ответ: 38

Источник: ФИПИ

Решение.

1. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. По определению, прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен $90^\circ$.

2. Вспомним важное свойство углов любого треугольника: сумма всех трёх углов треугольника всегда равна $180^\circ$.

3. Если один из углов равен $90^\circ$, то на долю двух других (острых) углов приходится:
$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна $90^\circ$.

4. По условию задачи один из острых углов равен $23^\circ$. Чтобы найти второй острый угол, нужно из их общей суммы ($90^\circ$) вычесть известный угол:
$90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

Ответ: 67

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону $a$:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 16 \sqrt{3}$ в эту формулу, чтобы найти высоту:
$h = \frac{16 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{16 \cdot 3}{2} = \frac{48}{2} = 24$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины.

4. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

5. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение: прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это значит, что у такой трапеции два угла прямые, то есть равны $90^\circ$.

2. На рисунке мы видим, что два угла при левой боковой стороне являются прямыми. Нам дан ещё один угол, равный $121^\circ$. Так как $121^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым. В прямоугольной трапеции тупой угол всегда находится при меньшем основании.

3. Основания трапеции параллельны. По свойству параллельных прямых, сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$ (эти углы называются односторонними).

4. Пусть известный тупой угол равен $121^\circ$. Тогда острый угол, прилежащий к той же боковой стороне (правой), мы можем найти, вычтя из $180^\circ$ величину тупого угла:
$180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$.

5. Таким образом, мы знаем все четыре угла трапеции: $90^\circ$, $90^\circ$, $121^\circ$ и $59^\circ$. Самым меньшим из них является угол $59^\circ$.

Ответ: 59

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и свойствами средней линии треугольника.

1. Вспомним теорему: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

2. В условии задачи сказано, что нам нужно найти длину средней линии, которая параллельна стороне $A C$. Обозначим длину этой средней линии как $m$. Согласно свойству, её длина вычисляется по формуле:
$m = \frac{1}{2} \cdot AC$

3. Найдём длину стороны $A C$: Посмотрим на рисунок. Сторона $A C$ расположена горизонтально вдоль линий сетки. Посчитаем количество клеток между точками $A$ и $C$. Мы видим, что отрезок $A C$ занимает ровно $4$ клетки.

4. Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, длина стороны $A C$ равна:
$AC = 4$

5. Вычислим длину средней линии: Подставим значение $A C$ в формулу:
$m = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, длина средней линии треугольника $A B C$, параллельной стороне $A C$, равна $2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету».
Вспомним определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В утверждении же указано обратное отношение (гипотенузы к катету), которое является секансом угла. Следовательно, это утверждение неверно.

2) «Диагонали ромба перпендикулярны».
Это одно из основных свойств ромба. Согласно теореме о диагоналях ромба, они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Следовательно, это утверждение верно.

3) «Существуют три прямые, которые проходят через одну точку».
Через любую точку на плоскости можно провести бесконечное количество прямых. Следовательно, мы всегда можем провести как минимум три прямые, пересекающиеся в одной точке (такую конструкцию часто называют «пучком прямых»). Это утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ