Вариант 9 · Август 2026

Решение.

Чтобы понять, какое из десятичных чисел находится между данными дробями, нам нужно перевести обыкновенные дроби $\frac{2}{17}$ и $\frac{4}{19}$ в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель «уголком» с точностью до двух-трёх знаков после запятой.

1) Найдём десятичное приближение для числа $\frac{2}{17}$:
Разделим $2$ на $17$:
$2 : 17 \approx 0,117...$
Значит, левая граница нашего промежутка примерно равна $0,11$.

2) Найдём десятичное приближение для числа $\frac{4}{19}$:
Разделим $4$ на $19$:
$4 : 19 \approx 0,2105...$
Значит, правая граница нашего промежутка примерно равна $0,21$.

3) Теперь запишем полученный интервал: нам нужно найти число, которое больше $0,11...$, но меньше $0,21...$.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$0,11 < x < 0,21$

4) Проверим предложенные варианты ответов:
1) $0$ — не подходит, так как $0 < 0,11$.
2) $0,1$ — не подходит, так как $0,1 < 0,11$ (это можно представить как $0,10 < 0,11$).
3) $0,2$ — подходит, так как $0,11 < 0,20 < 0,21$.
4) $0,3$ — не подходит, так как $0,3 > 0,21$.

Таким образом, между числами $\frac{2}{17}$ и $\frac{4}{19}$ заключено число $0,2$, что соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся одной из формул сокращённого умножения, а именно формулой разности квадратов:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

В нашем выражении роль $a$ играет $\sqrt{5}$, а роль $b$ играет $\sqrt{3}$. Применим формулу:

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2$

Вспомним определение квадратного корня: возведение в квадрат «уничтожает» корень, то есть для любого неотрицательного числа $x$ верно равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
Следовательно:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
$(\sqrt{3})^2 = 3$

Теперь подставим полученные значения в наше выражение:
$5 - 3 = 2$

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного линейного уравнения будем придерживаться стандартного алгоритма: раскроем скобки, перенесём известные слагаемые в одну сторону и найдём значение переменной.

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив число $5$ на каждое слагаемое внутри скобок:
$5 \cdot x + 5 \cdot 9 = -8$
$5x + 45 = -8$

2. Теперь перенесём число $45$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$5x = -8 - 45$

3. Выполним вычитание в правой части уравнения. Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули и ставим знак «минус»:
$5x = -53$

4. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = -53 : 5$

5. Выполним деление. Для удобства можно представить это в виде дроби или разделить столбиком:
$x = -10{,}6$

Ответ: -10,6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием противоположных событий. В данной ситуации возможны два исхода при выборе ручки: либо она пишет плохо, либо она пишет хорошо. Эти события являются противоположными, так как они полностью охватывают все возможные варианты и не могут произойти одновременно.

1. Обозначим событие $A$ — «выбранная ручка пишет плохо». По условию задачи вероятность этого события равна $P(A) = 0,28$.

2. Обозначим событие $\bar{A}$ — «выбранная ручка пишет хорошо». Это событие является противоположным событию $A$.

3. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна $1$. Это записывается формулой:
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

4. Чтобы найти вероятность того, что ручка пишет хорошо, нужно из единицы вычесть вероятность того, что она пишет плохо:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

5. Подставим числовое значение:
$P(\bar{A}) = 1 - 0,28 = 0,72$

Ответ: 0,72

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем каждую функцию и её свойства.

1) Рассмотрим формулу $y = x + 3$. Это линейная функция вида $y = kx + b$.
— Коэффициент $b = 3$ означает, что график пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$.
— Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$, значит, график проходит через точку $(-3; 0)$.
На рисунке А мы видим прямую, которая пересекает ось $Oy$ в точке $3$ и ось $Ox$ в точке $-3$. Следовательно, А — 1.

2) Рассмотрим формулу $y = 3$. Это функция, значение которой не зависит от $x$.
— Графиком такой функции является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $3$ на оси $Oy$.
На рисунке Б изображена именно такая горизонтальная прямая. Следовательно, Б — 2.

3) Рассмотрим формулу $y = 3x$. Это прямая пропорциональность.
— График такой функции всегда проходит через начало координат — точку $(0; 0)$, так как при $x = 0$ получаем $y = 3 \cdot 0 = 0$.
— Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$. То есть прямая проходит через точку $(1; 3)$.
На рисунке В изображена прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Следовательно, В — 3.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой мощности постоянного тока: $P = I^{2} R$.

1. Выпишем значения величин, которые даны по условию задачи:
Мощность $P = 144,5$ Вт;
Сила тока $I = 8,5$ А.

2. Нам необходимо найти сопротивление $R$. Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = \frac{P}{I^{2}}$.

3. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{144,5}{8,5^{2}}$.

4. Сначала возведём силу тока в квадрат:
$8,5^{2} = 8,5 \cdot 8,5 = 72,25$.

5. Теперь вычислим значение сопротивления, разделив мощность на квадрат силы тока:
$R = \frac{144,5}{72,25}$.

6. Чтобы избавиться от запятых в делителе, перенесём запятую на два знака вправо в обоих числах (это равносильно умножению числителя и знаменателя на 100):
$R = \frac{14450}{7225}$.

7. Заметим, что число 14450 ровно в два раза больше, чем 7225:
$7225 \cdot 2 = 14450$.
Следовательно, $R = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $2x - 4 \geq 7x - 1$, будем следовать стандартному алгоритму решения линейных неравенств.

Шаг 1. Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные числа — в правую часть. При переносе через знак неравенства знаки слагаемых меняются на противоположные:
$2x - 7x \geq -1 + 4$

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-5x \geq 3$

Шаг 3. Разделим обе части неравенства на коэффициент перед $x$, то есть на $-5$.
Важное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак самого неравенства меняется на противоположный (был $\geq$, станет $\leq$):
$x \leq \frac{3}{-5}$
$x \leq -0,6$

Шаг 4. Запишем полученный результат в виде числового промежутка. Условию $x \leq -0,6$ соответствуют все числа от минус бесконечности до $-0,6$ включительно:
$x \in (-\infty; -0,6]$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны данные для седьмого и девятого рядов:
$a_7 = 36$
$a_9 = 42$

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для девятого и седьмого рядов:
$a_9 = a_1 + 8d$
$a_7 = a_1 + 6d$
Вычтем из первого уравнения второе:
$a_9 - a_7 = (a_1 + 8d) - (a_1 + 6d)$
$42 - 36 = 2d$
$6 = 2d$
Отсюда $d = 3$. Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в последнем (15-м) ряду.
Нам нужно найти $a_{15}$. Мы можем выразить его через уже известный нам девятый ряд $a_9$:
$a_{15} = a_9 + (15 - 9) \cdot d$
$a_{15} = a_9 + 6d$
Подставим известные значения $a_9 = 42$ и $d = 3$:
$a_{15} = 42 + 6 \cdot 3$
$a_{15} = 42 + 18$
$a_{15} = 60$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 60 мест.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая применяется для прямоугольных треугольников. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, так как один из его углов отмечен квадратиком (прямой угол).

Шаг 1. Вспомним формулировку теоремы.
Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Формула выглядит так:
$c^2 = a^2 + b^2$,
где $a$ и $b$ — катеты (стороны, образующие прямой угол), а $c$ — гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла).

Шаг 2. Подставим известные значения.
По условию задачи катеты равны $12$ и $5$. Пусть $a = 12$, а $b = 5$. Тогда:
$c^2 = 12^2 + 5^2$.

Шаг 3. Выполним вычисления.
Возведём числа в квадрат:
$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$,
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Сложим полученные результаты:
$c^2 = 144 + 25 = 169$.

Шаг 4. Найдём гипотенузу.
Чтобы найти $c$, нужно извлечь квадратный корень из $169$:
$c = \sqrt{169}$.
Так как $13 \cdot 13 = 169$, то $c = 13$.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна $13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой, так как $A B C D$ — квадрат. В этом треугольнике катетами являются $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$, а гипотенузой — отрезок $O A$.

4. Отрезок $O A$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. Значит, $O A$ — это радиус окружности. По условию $R = 1,5$, то есть $O A = 1,5$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = O A^2$
Подставим известные значения через $a$:
$a^2 + (\frac{a}{2})^2 = (1,5)^2$
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 2,25$

6. Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 2,25$
$\frac{5a^2}{4} = 2,25$

7. Выразим $a^2$, которое и является площадью квадрата $S$:
$5a^2 = 2,25 \cdot 4$
$5a^2 = 9$
$a^2 = \frac{9}{5}$
$a^2 = 1,8$

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2 = 1,8$.

Ответ: 1,8

Источник: ФИПИ

Решение.

1) По условию задачи трапеция $A B C D$ является равнобедренной ($A B = C D$). Одно из главных свойств равнобедренной трапеции заключается в том, что углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при нижнем основании $A$ равен углу при нижнем основании $D$:
$\angle B A D = \angle D = 69^{\circ}$.

2) Угол $B A D$ состоит из двух частей: угла $B A C$ и угла $C A D$. По условию задачи диагональ $A C$ образует с боковой стороной $A B$ угол $25^{\circ}$, то есть $\angle B A C = 25^{\circ}$.
Зная весь угол $B A D$ и его часть $B A C$, мы можем найти вторую часть — угол между диагональю и бóльшим основанием $A D$:
$\angle C A D = \angle B A D - \angle B A C = 69^{\circ} - 25^{\circ} = 44^{\circ}$.

3) Основания трапеции $B C$ и $A D$ параллельны по определению. Диагональ $A C$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Угол между диагональю и меньшим основанием ($\angle B C A$) и угол между диагональю и бóльшим основанием ($\angle C A D$) являются накрест лежащими.
Следовательно, $\angle B C A = \angle C A D = 44^{\circ}$.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти расстояние между двумя точками на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого достроим отрезок, соединяющий эти точки, до прямоугольного треугольника, используя линии сетки.

1. Рассмотрим положение точек на рисунке. Проведём от одной точки горизонтальную линию, а от другой — вертикальную до их пересечения. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник, где искомое расстояние является гипотенузой.

2. Посчитаем длины катетов этого треугольника по клеткам:
— Длина горизонтального катета составляет $3$ клетки.
— Длина вертикального катета составляет $4$ клетки.

3. Обозначим искомое расстояние (гипотенузу) как $c$, а катеты как $a = 3$ и $b = 4$. Согласно теореме Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$

4. Подставим значения катетов в формулу и произведём вычисления:
$c^2 = 3^2 + 4^2$
$c^2 = 9 + 16$
$c^2 = 25$

5. Найдём значение $c$, извлекая квадратный корень из полученного числа:
$c = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, расстояние между двумя точками равно $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Это утверждение верно. Ромб является частным случаем параллелограмма. Площадь любого параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. Так как у ромба все стороны равны ($a = b$), формула принимает вид $S = a^2 \cdot \sin \alpha$, что полностью соответствует описанию в условии.

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Это утверждение неверно. По определению, тупоугольным называется треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$). Сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Если бы в треугольнике было хотя бы два тупых угла, их сумма уже превысила бы $180^\circ$, что невозможно. Следовательно, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других — острые.

3) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
Это утверждение верно. Через любую точку на плоскости можно провести бесконечно много различных прямых. Следовательно, мы можем провести и три, и четыре, и любое другое количество прямых через одну общую точку. Такие прямые называются пересекающимися в одной точке.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ