Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой, так как $A B C D$ — квадрат. В этом треугольнике катетами являются $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$, а гипотенузой — отрезок $O A$.

4. Отрезок $O A$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. Значит, $O A$ — это радиус окружности. По условию $R = 1,5$, то есть $O A = 1,5$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = O A^2$
Подставим известные значения через $a$:
$a^2 + (\frac{a}{2})^2 = (1,5)^2$
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 2,25$

6. Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 2,25$
$\frac{5a^2}{4} = 2,25$

7. Выразим $a^2$, которое и является площадью квадрата $S$:
$5a^2 = 2,25 \cdot 4$
$5a^2 = 9$
$a^2 = \frac{9}{5}$
$a^2 = 1,8$

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2 = 1,8$.

Ответ: 1,8

Источник: ФИПИ