Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Точка $O$ является серединой стороны $C D$ квадрата $A B C D$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 2,5. Найдите площадь квадрата $A B C D$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$ . Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$ . Все углы квадрата прямые, то есть $\angle D = 90^{\circ}$ .

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$ . Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$ .

3. Окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$ . Это означает, что отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию радиус $R = 2,5$ , значит, $O A = 2,5$ .

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ (угол $D$ прямой). В этом треугольнике $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$ — катеты, а $O A = 2,5$ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора: $A D^2 + O D^2 = O A^2$ .

5. Подставим известные значения в формулу: $a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2,5^2$ .
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 6,25$ .

6. Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю: $\frac{4a^2 + a^2}{4} = 6,25$ ,
$\frac{5a^2}{4} = 6,25$ .

7. Выразим $a^2$ : $5a^2 = 6,25 \cdot 4$ ,
$5a^2 = 25$ ,
$a^2 = \frac{25}{5}$ ,
$a^2 = 5$ .

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$ . Мы уже нашли, что $a^2 = 5$ . Следовательно, площадь квадрата $A B C D$ равна 5.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ