Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Все углы квадрата прямые, то есть $\angle D = 90^{\circ}$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$.

3. Окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$. Это означает, что отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию радиус $R = 2,5$, значит, $O A = 2,5$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ (угол $D$ прямой). В этом треугольнике $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$ — катеты, а $O A = 2,5$ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора: $A D^2 + O D^2 = O A^2$.

5. Подставим известные значения в формулу: $a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2,5^2$.
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 6,25$.

6. Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю: $\frac{4a^2 + a^2}{4} = 6,25$,
$\frac{5a^2}{4} = 6,25$.

7. Выразим $a^2$: $5a^2 = 6,25 \cdot 4$,
$5a^2 = 25$,
$a^2 = \frac{25}{5}$,
$a^2 = 5$.

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли, что $a^2 = 5$. Следовательно, площадь квадрата $A B C D$ равна 5.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ