Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Точка $O$ является серединой стороны $C D$ квадрата $A B C D$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен 5. Найдите площадь квадрата $A B C D$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$ . Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$ . Все углы квадрата прямые, то есть $\angle D = 90^\circ$ .

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$ . Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата:
$O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$ .

3. Рассмотрим треугольник $A D O$ . Так как $\angle D = 90^\circ$ , этот треугольник является прямоугольным. В нём катеты равны $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$ , а гипотенузой является отрезок $A O$ .

4. Отрезок $A O$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$ , лежащей на окружности. Значит, $A O$ — это радиус окружности. По условию радиус равен 5, то есть $A O = 5$ .

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$ :
$A D^2 + O D^2 = A O^2$
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 5^2$
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 25$

6. Приведём слагаемые в левой части к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 25$
$\frac{5a^2}{4} = 25$

7. Выразим $a^2$ :
$5a^2 = 25 \cdot 4$
$5a^2 = 100$
$a^2 = \frac{100}{5}$
$a^2 = 20$

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$ . Мы уже нашли, что $a^2 = 20$ , следовательно, площадь квадрата равна 20.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ