Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$. Все углы квадрата прямые, то есть $\angle D = 90^\circ$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата:
$O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник $A D O$. Так как $\angle D = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. В нём катеты равны $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$, а гипотенузой является отрезок $A O$.

4. Отрезок $A O$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. Значит, $A O$ — это радиус окружности. По условию радиус равен 5, то есть $A O = 5$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = A O^2$
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 5^2$
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 25$

6. Приведём слагаемые в левой части к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 25$
$\frac{5a^2}{4} = 25$

7. Выразим $a^2$:
$5a^2 = 25 \cdot 4$
$5a^2 = 100$
$a^2 = \frac{100}{5}$
$a^2 = 20$

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли, что $a^2 = 20$, следовательно, площадь квадрата равна 20.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ