Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата. Если обозначить сторону квадрата как $a$, а радиус вписанной окружности как $r$, то:
$a = 2r$

2) Подставим известное значение радиуса $r = 16\sqrt{2}$ в формулу для нахождения стороны:
$a = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$

3) Теперь найдём диагональ квадрата. Обозначим диагональ как $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда следует известная формула: $d = a\sqrt{2}$

4) Подставим найденное значение стороны $a = 32\sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = 32\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

5) Выполним вычисления:
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 32 \cdot 2 = 64$

Ответ: 64

Источник: ФИПИ