Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — это радиусы этой окружности. Следовательно, $OB = OC$.

2) Так как две стороны треугольника $BOC$ равны, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OBC = \angle OCB$.

3) По условию задачи $\angle ACB = 53^\circ$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то $\angle OCB$ — это тот же самый угол, что и $\angle ACB$. Таким образом, $\angle OCB = 53^\circ$, и, следовательно, $\angle OBC = 53^\circ$.

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (53^\circ + 53^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

5) Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров) $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 74^\circ$.

Ответ: 74

Источник: ФИПИ