Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$ треугольника $A B C$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2) Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Угол $C$ (или $\angle ACB$) опирается на дугу, стягиваемую диаметром $A B$, следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$. Значит, треугольник $A B C$ — прямоугольный с гипотенузой $A B$.

3) Найдём длину гипотенузы $A B$. Так как $A B$ — диаметр, а радиус окружности $R = 8,5$, то:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 8,5 = 17$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$. Нам известна гипотенуза $A B = 17$ и катет $A C = 8$. Чтобы найти второй катет $B C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^2 + B C^2 = A B^2$.

5) Подставим известные значения в формулу:
$8^2 + B C^2 = 17^2$
$64 + B C^2 = 289$
$B C^2 = 289 - 64$
$B C^2 = 225$
$B C = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ