Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности.

Запишем формулу для стороны $A B$ и угла $C$:
$\frac{A B}{\sin C} = 2 R$,
где $R$ — радиус описанной окружности.

1) Нам известны значения из условия задачи:
Сторона $A B = 18 \sqrt{3}$;
Угол $\angle C = 120^\circ$.

2) Найдём значение синуса угла $120^\circ$. По формулам приведения:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Подставим все известные данные в формулу теоремы синусов:
$2 R = \frac{18 \sqrt{3}}{\sin 120^\circ}$
$2 R = \frac{18 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

4) Упростим выражение. При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:
$2 R = 18 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
Корни $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе сокращаются:
$2 R = 18 \cdot 2$
$2 R = 36$

5) Чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на 2:
$R = \frac{36}{2}$
$R = 18$

Ответ: 18

Источник: ФИПИ