Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи сторона треугольника $a = 18\sqrt{3}$.

2. Существует стандартная формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 18$

Альтернативный способ:
Можно вспомнить, что в равностороннем треугольнике радиус описанной окружности составляет $\frac{2}{3}$ его высоты $h$.
Высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = 9 \cdot 3 = 27$.
Тогда $R = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ