Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой, так как $A B C D$ — квадрат. Катетами этого треугольника являются сторона квадрата $A D = a$ и отрезок $O D = \frac{a}{2}$.

4. Отрезок $O A$ является радиусом окружности, так как окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$. По условию $O A = 3$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = O A^2$
Подставим известные значения через $a$:
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 3^2$

6. Решим полученное уравнение:
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 9$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 9$
$\frac{5a^2}{4} = 9$

7. Выразим $a^2$, которое и является искомой площадью квадрата $S$:
$5a^2 = 9 \cdot 4$
$5a^2 = 36$
$a^2 = \frac{36}{5}$
$a^2 = 7,2$

Таким образом, площадь квадрата равна 7,2.

Ответ: 7,2

Источник: ФИПИ