Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Отрицание всей формулы истинно, когда конъюнкция под ним ложна. Значит для любого натурального $x$ должно быть не так, что одновременно

• (а) $\text{ТРЕУГ}(x, 12, 20) \equiv \neg\left(\text{МАКС}(x, 5) \gt 28\right)$ истинно;
• (б) $\text{ТРЕУГ}(x, A, 3)$ истинно.

Разбираем (а). Неравенство треугольника для сторон $x$, 12 и 20 даёт $x + 12 \gt 20$ и $12 + 20 \gt x$, то есть $\text{ТРЕУГ}(x, 12, 20)$ истинно при $9 \leq x \leq 31$.

Далее, $\text{МАКС}(x, 5) \gt 28$ означает $x \gt 28$, поэтому $\neg\left(\text{МАКС}(x, 5) \gt 28\right)$ истинно при $x \leq 28$.

Эквивалентность (а) истинна там, где обе части совпадают:

• $x \leq 8$: ложь и истина — (а) ложно;
• $9 \leq x \leq 28$: истина и истина — (а) истинно;
• $29 \leq x \leq 31$: истина и ложь — (а) ложно;
• $x \geq 32$: ложь и ложь — (а) истинно.

Разбираем (б). На всех $x$, где (а) истинно, нужно, чтобы $\text{ТРЕУГ}(x, A, 3)$ было ложно. Для сторон $x$, $A$ и 3 треугольник существует, если $x + 3 \gt A$, $A + 3 \gt x$ и $x + A \gt 3$.

При $9 \leq x \leq 28$ и натуральном $A$ условие $x + A \gt 3$ выполнено всегда, поэтому треугольник не существует ровно тогда, когда $A \geq x + 3$ или $A \leq x - 3$.

Это должно выполняться для каждого $x$ от 9 до 28. Самое жёсткое ограничение даёт $x = 9$: нужно $A \leq 6$ либо $A \geq 12$. Но $x = 28$ требует $A \leq 25$ либо $A \geq 31$, а при $A \geq 31$ уже нарушается случай $x \geq 32$: например, при $x = 32$ и $A = 31$ все три неравенства треугольника выполняются. Остаётся ветвь $A \leq 6$, и она годится сразу для всех $x \geq 9$, так как тогда $A \leq x - 3$.

Наибольшее подходящее натуральное число — $A = 6$ (при $A = 7$ и $x = 9$ стороны 9, 7 и 3 образуют треугольник, и формула ложна).

def treug(a, b, c):
    a, b, c = sorted((a, b, c))
    return a > 0 and a + b > c

def maks(a, b):
    return a if a > b else b

def ok(A):
    return all(not ((treug(x, 12, 20) == (not (maks(x, 5) > 28))) and treug(x, A, 3))
               for x in range(1, 1000))

print(max(A for A in range(1, 100) if ok(A)))

Ответ: 6