Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Для какого наименьшего целого числа А формула
$( x \geq 20 ) \lor ( y \geq 40 ) \lor ( y \leq x + A ) \lor ( y \geq 3 x - A )$
тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных х и у?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Формула ложна, когда ложны все четыре части, то есть когда для целых неотрицательных $x$ и $y$ одновременно

$x \leq 19$ , $y \leq 39$ , $y \gt x + A$ , $y \lt 3x - A$ .

Иначе говоря, «плохая» пара существует, если в интервале $(x + A;\ 3x - A)$ найдётся целое $y$ , не превосходящее 39.

Между целыми числами $x + A$ и $3x - A$ строго лежит целое число только тогда, когда их разность не меньше 2:

$(3x - A) - (x + A) \geq 2 \iff 2x - 2A \geq 2 \iff x \geq A + 1$ .

Так как $x \leq 19$ , плохих пар не будет, если $A + 1 \gt 19$ , то есть $A \geq 19$ .

Проверим, что $A = 18$ не годится: при $x = 19$ интервал — $(37;\ 39)$ , в нём лежит $y = 38 \leq 39$ , и все четыре части ложны. А при $A = 19$ и $x = 19$ интервал $(38;\ 38)$ пуст, при меньших $x$ — тем более.

Наименьшее целое $A = 19$ . Проверка перебором:

A = 19
bad = [(x, y) for x in range(20) for y in range(40)
       if not ((x >= 20) or (y >= 40) or (y <= x + A) or (y >= 3*x - A))]
print(bad)

Ответ: 19