Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Для какого наибольшего целого числа А формула
$( x < 4 ) \lor ( x \geq 20 ) \lor ( y \geq 3 x + A ) \lor ( y < 100 )$
тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных х и y?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Дизъюнкция ложна, только если ложны все четыре части, то есть одновременно

$x \geq 4$ , $x \lt 20$ , $y \lt 3x + A$ , $y \geq 100$ .

Значит формула тождественно истинна тогда и только тогда, когда при всех целых $4 \leq x \leq 19$ и всех $y \geq 100$ выполняется $y \geq 3x + A$ .

Самый жёсткий случай — наименьшее $y = 100$ и наибольшее $x = 19$ :

$100 \geq 3 \cdot 19 + A = 57 + A \Rightarrow A \leq 43$ .

При $A = 43$ для всех $x \leq 19$ имеем $3x + 43 \leq 100 \leq y$ , то есть формула истинна. Наибольшее целое $A = 43$ .

Ответ: 43