Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём всё к степеням числа 11: $1331^{650} = \left(11^{3}\right)^{650} = 11^{1950}$, $55\cdot 121^{610} = 5\cdot 11\cdot 11^{1220} = 5\cdot 11^{1221}$, $77\cdot 11^{510} = 7\cdot 11^{511}$, $221 = 191_{11}$. Тогда

$$N = 11^{1950} - 5\cdot 11^{1221} + 7\cdot 11^{511} - 3\cdot 11^{100} - 191_{11}.$$

Разберём заёмы. $11^{1950} - 5\cdot 11^{1221}$ даёт цифру A (то есть 10) в разрядах с 1949-го по 1222-й — это 728 цифр A, — и цифру $11-5=6$ в разряде 1221.

Далее в разряде 511 стоит 7; вычитание $3\cdot 11^{100}$ берёт у неё заём: она становится 6, разряды с 510-го по 101-й превращаются в A (это 410 цифр), а в разряде 100 получается $11-3 = 8$.

Наконец, вычитание $191_{11}$ снова требует заёма: разряд 100 становится 7, разряды с 99-го по 3-й превращаются в A (это 97 цифр), а три младшие цифры равны $1000_{11} - 191_{11}$, то есть $1331 - 221 = 1110 = 91A_{11}$.

Итого запись: 728 цифр A, 6, 709 нулей, 6, 410 цифр A, 7, 97 цифр A, 9, 1, A. Количество цифр A: $728 + 410 + 97 + 1 = 1236$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"[n % b] + s
        n //= b
    return s

n = 1331**650 - 55 * 121**610 + 77 * 11**510 - 3 * 11**100 - 221
print(to_base(n, 11).count('A'))    # 1236

Ответ: 1236