Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Для какого наименьшего целого числа А формула
$( 4 \cdot x + y < A ) \lor ( x < y ) \lor ( 22 \leq x )$
тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных х и y?

Правильный ответ

106

Пояснение

Решение:

Дизъюнкция ложна, только если ложны все три части. Значит «плохими» будут пары целых неотрицательных $x$ и $y$ , для которых одновременно

$4x + y \geq A$ , $x \geq y$ , $x \lt 22$ .

Формула тождественно истинна тогда и только тогда, когда при всех $0 \leq x \leq 21$ и $0 \leq y \leq x$ выполняется $4x + y \lt A$ .

Достаточно взять максимум выражения $4x + y$ на этой области: он достигается при наибольших $x$ и $y$ , то есть при $x = y = 21$ :

$4 \cdot 21 + 21 = 105$ .

Нужно $105 \lt A$ , значит наименьшее целое $A = 106$ .

Ответ: 106