Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула
$\neg ДЕЛ ( x , А ) \rightarrow ( ДЕЛ ( x , 26 ) \rightarrow \neg ДЕЛ ( x , 169 ) )$
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Правильный ответ

338

Пояснение

Решение:

Раскроем импликации ( $a \rightarrow b \equiv \neg a \lor b$ ):

$\text{ДЕЛ}(x, A) \lor \neg\text{ДЕЛ}(x, 26) \lor \neg\text{ДЕЛ}(x, 169)$ .

Формула может нарушиться только на тех $x$ , которые делятся и на 26, и на 169. Так как $26 = 2 \cdot 13$ , а $169 = 13^2$ , это кратные $\text{НОК}(26, 169) = 2 \cdot 13^2 = 338$ .

Для всех таких $x$ должно быть истинно $\text{ДЕЛ}(x, A)$ , то есть $A$ обязано делить каждое число вида $338k$ . Наибольшее число, делящее все кратные 338, — само число 338.

Проверим: если $x$ кратно 338, то $\text{ДЕЛ}(x, 338)$ истинно и формула верна; если $x$ не кратно 338, то он не делится либо на 26, либо на 169, и снова истинна. Значение $A = 339$ и больше уже не годится: например, при $x = 338$ число не делится на $A$ , а обе остальные части ложны.

Ответ: 338