Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
$( ДЕЛ ( x , 13 ) \rightarrow \neg ДЕЛ ( x , 21 ) ) \lor ( x + А \geq 500 )$
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Правильный ответ

227

Пояснение

Решение:

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба слагаемых. Значит формула нарушается ровно при тех $x$ , для которых одновременно

$\text{ДЕЛ}(x, 13)$ истинно и $\text{ДЕЛ}(x, 21)$ истинно (тогда импликация $\text{ДЕЛ}(x,13) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x,21)$ ложна);
$x + A \lt 500$ .

Числа, делящиеся и на 13, и на 21, — это кратные $\text{НОК}(13, 21) = 273$ (числа взаимно просты).

Чтобы формула была тождественно истинна, для каждого кратного 273 должно выполняться $x + A \geq 500$ . Достаточно проверить наименьшее из них, $x = 273$ : для больших кратных неравенство только усиливается.

Получаем $273 + A \geq 500$ , то есть $A \geq 227$ . Наименьшее натуральное значение — $A = 227$ .

Ответ: 227