Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба слагаемых. Значит формула нарушается ровно при тех $x$, для которых одновременно

• $\text{ДЕЛ}(x, 13)$ истинно и $\text{ДЕЛ}(x, 21)$ истинно (тогда импликация $\text{ДЕЛ}(x,13) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x,21)$ ложна);
• $x + A \lt 500$.

Числа, делящиеся и на 13, и на 21, — это кратные $\text{НОК}(13, 21) = 273$ (числа взаимно просты).

Чтобы формула была тождественно истинна, для каждого кратного 273 должно выполняться $x + A \geq 500$. Достаточно проверить наименьшее из них, $x = 273$: для больших кратных неравенство только усиливается.

Получаем $273 + A \geq 500$, то есть $A \geq 227$. Наименьшее натуральное значение — $A = 227$.

Ответ: 227