Решение:
Для нахождения значения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$.
Выразим квадрат косинуса через квадрат синуса: $\cos ^{2} \alpha = 1 - \sin ^{2} \alpha$.
Подставим известное по условию значение синуса в формулу:
$$\cos ^{2} \alpha = 1 - \left( - \frac{\sqrt{19}}{10} \right)^{2} = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$$
Отсюда следует, что $\cos \alpha = \pm \sqrt{0,81} = \pm 0,9$.
Уточним знак функции, исходя из заданной четверти: так как угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти $\left(\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right)$, косинус в этом промежутке принимает только отрицательные значения. Следовательно, $\cos \alpha = -0,9$.

Ответ: -0,9

Источник: ФИПИ