Решение:
Для нахождения значения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$.
Выразим из этой формулы квадрат косинуса: $\cos ^{2} \alpha = 1 - \sin ^{2} \alpha$.
Подставим известное значение синуса в уравнение:
$\cos ^{2} \alpha = 1 - \left( - \frac{\sqrt{51}}{10} \right)^{2} = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100}$.
Отсюда следует, что $\cos \alpha = \pm \sqrt{0,49} = \pm 0,7$.
Согласно условию, угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти: $\alpha \in \left(\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right)$. В этой четверти косинус принимает только отрицательные значения, следовательно, $\cos \alpha = -0,7$.

Ответ: -0,7

Источник: ФИПИ