Разбор задачи:
Для нахождения искомого значения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$$
Выразим квадрат синуса через квадрат косинуса:
$$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha$$
Подставим известное по условию значение $\cos \alpha = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ в полученную формулу:
$\sin^{2} \alpha = 1 - \left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)^{2} = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$
Отсюда следует, что $\sin \alpha$ может принимать значения $\frac{1}{5}$ или $-\frac{1}{5}$.
Так как по условию угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $\alpha \in \left( 0 ; \frac{\pi}{2} \right)$, синус данного угла обязан быть положительным.
Таким образом, $\sin \alpha = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ