Решение:
Для вычисления значения выражения $\frac{\log _{5} 2}{\log _{5} 13} + \log _{13} 0{,}5$ воспользуемся свойствами логарифмов.

1) Применим формулу перехода к новому основанию $\frac{\log _{c} a}{\log _{c} b} = \log _{b} a$ к первому слагаемому:
$$\frac{\log _{5} 2}{\log _{5} 13} = \log _{13} 2$$

2) Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием:
$$\log _{13} 2 + \log _{13} 0{,}5 = \log _{13} (2 \cdot 0{,}5) = \log _{13} 1$$

Так как логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, получаем:
$$\log _{13} 1 = 0$$

Ответ: 0

Источник: ФИПИ