Задание №8 — Числовые и буквенные иррациональные выражения

Решение:
Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:
$$\frac{\sqrt[28]{3} \cdot 3 \cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{28}} \cdot 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{21}}}{3^{\frac{1}{12}}}$$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а при делении — вычитаются. Объединим все показатели в одну сумму:
$$3^{\frac{1}{28} + 1 + \frac{1}{21} - \frac{1}{12}}$$
Для вычисления суммы дробей $\frac{1}{28} + \frac{1}{21}$ приведём их к общему знаменателю $84$:
$$3^{\left(\frac{3}{84} + \frac{4}{84}\right) + 1 - \frac{1}{12}} = 3^{\frac{7}{84} + 1 - \frac{1}{12}}$$
Заметим, что дробь $\frac{7}{84}$ сокращается на $7$ и становится равной $\frac{1}{12}$. Тогда выражение принимает вид:
$$3^{\frac{1}{12} + 1 - \frac{1}{12}} = 3^{1} = 3$$

Ответ: 3

Источник: ФИПИ