Задание №8 — Числовые и буквенные иррациональные выражения

Разбор задачи:

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала перейдем от корней к дробным показателям:

$$\frac{\sqrt[15]{5} \cdot 5 \cdot \sqrt[10]{5}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{5^{\frac{1}{15}} \cdot 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. Объединим все действия в одну операцию:

$$5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}}$$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю $30$:

$$5^{\frac{2}{30} + 1 + \frac{3}{30} - \frac{5}{30}} = 5^{1 + \left(\frac{2+3-5}{30}\right)} = 5^{1+0} = 5^1 = 5$$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ