Вариант 8 · Май 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin ( 2 x ) = 0$.
Для упрощения воспользуемся формулами приведения и двойного аргумента:
1) Согласно формуле приведения, $\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)$, следовательно, $\sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos ^{2}(x)$.
2) Разложим синус двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cos ^{2}(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = 0$.
Разделим обе части равенства на $2$:
$\cos ^{2}(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos(x) \cdot (\cos(x) + \sin(x)) = 0$.
Получаем два случая:
1) $\cos(x) = 0$, откуда следует первая серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos(x) + \sin(x) = 0$. Перенесем косинус в правую часть: $\sin(x) = -\cos(x)$.
Разделив на $\cos(x)$ (заметим, что если $\cos(x) = 0$, то и $\sin(x) = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству), получим:
$\operatorname{tg}(x) = -1$, что дает вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих отрезку $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$.
1) Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
$3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$2{,}5\pi \leq \pi k \leq 4\pi$.
Разделим на $\pi$:
$2{,}5 \leq k \leq 4$.
Целые значения $k$ на этом промежутке: $k = 3$ и $k = 4$.
При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$.
При $k = 4$: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.
2) Для второй серии $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$:
$3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Умножим на $4$ и разделим на $\pi$:
$12 \leq 3 + 4k \leq 18$.
Вычтем $3$:
$9 \leq 4k \leq 15$.
Разделим на $4$:
$2{,}25 \leq k \leq 3{,}75$.
Единственное целое значение $k = 3$.
При $k = 3$: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi = \frac{15\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi}{2}; \frac{15\pi}{4}; \frac{9\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит трапеция $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$, при этом $\alpha \parallel SO$.
а) 1) Пусть $MN$ — средняя линия трапеции. Обозначим точки пересечения $MN$ с диагоналями $AC$ и $BD$ как $E$ и $F$ соответственно.
2) В плоскостях $ASC$ и $BSD$ через точки $E$ и $F$ проведем прямые, параллельные высоте $SO$ (так как сечение параллельно $SO$). Пусть они пересекают боковые ребра в точках $K$ и $L$.
3) Рассмотрим $\triangle AOD$. Поскольку $EF \parallel AD$, имеем $\triangle EOF \sim \triangle AOD$ по двум углам ($\angle AOD$ — общий, $\angle FEO = \angle DAO$ как соответственные). Из подобия следует: $\frac{EO}{AO} = \frac{OF}{OD}$, откуда получаем пропорцию $\frac{AE}{EO} = \frac{FD}{OF}$.
4) В плоскости $ASC$ рассмотрим $\triangle ASO$. Так как $KE \parallel SO$, то $\triangle AKE \sim \triangle ASO$. Следовательно, $\frac{AE}{AO} = \frac{AK}{AS}$, что дает нам соотношение $\frac{AE}{EO} = \frac{AK}{KS}$.
5) Аналогично в плоскости $DSO$, из параллельности $LF \parallel SO$ вытекает подобие $\triangle LDF \sim \triangle SDO$. Тогда $\frac{LD}{SD} = \frac{FD}{OD}$, откуда $\frac{SL}{LD} = \frac{OF}{FD}$.
6) Объединяя результаты шагов 3, 4 и 5, получаем: $\frac{SL}{LD} = \frac{OF}{FD} = \frac{EO}{AE} = \frac{KS}{AK}$. Равенство $\frac{SL}{LD} = \frac{KS}{AK}$ по теореме Фалеса означает, что $KL \parallel AD$.
7) Так как $MN \parallel AD$ (средняя линия) и $KL \parallel AD$, то $KL \parallel MN$. Следовательно, четырехугольник $MKLN$ является трапецией, что и требовалось доказать.
б) 8) По условию $SO \bot AD$, значит $SO \bot MN$. Поскольку $KE \parallel SO$ и $LF \parallel SO$, отрезки $KE$ и $LF$ перпендикулярны $MN$. Так как $KL \parallel MN$ и $KE \parallel LF$, фигура $KEFL$ — прямоугольник, и $KE = LF$ является высотой трапеции $MKLN$.
9) Длина средней линии $MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
10) Рассмотрим треугольники на диагоналях. $ME$ — часть средней линии, $\triangle MAE \sim \triangle BAC$, откуда $ME = \frac{BC}{2}$. Аналогично $FN = \frac{BC}{2}$.
Тогда отрезок $EF = MN - ME - FN = MN - BC = \frac{AD + BC}{2} - BC = \frac{AD - BC}{2}$.
Подставляя значения: $EF = \frac{10 - 8}{2} = 1$.
11) Из свойств параллельности в пункте 8 следует, что $KL = EF = 1$.
12) Из подобия $\triangle AKE \sim \triangle ASO$ имеем $\frac{EK}{SO} = \frac{AE}{AO}$.
Так как $E$ делит $AO$ в определенном отношении (из свойств средней линии трапеции), можно вычислить, что $\frac{AE}{AO} = \frac{9}{10}$.
Тогда $EK = \frac{9}{10} SO = \frac{9}{10} \cdot 8 = 7{,}2$.
13) Находим площадь сечения: $S_{MKLN} = \frac{MN + KL}{2} \cdot KE = \frac{9 + 1}{2} \cdot 7{,}2 = 5 \cdot 7{,}2 = 36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ

Решим логарифмическое неравенство, определив область допустимых значений переменной и выполнив необходимые преобразования.

Критерии оценивания:
• 2 балла: представлено полностью верное решение, в результате которого получен правильный ответ.
• 1 балл: допущена единственная вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек (концов интервалов).
• 0 баллов: решение не удовлетворяет указанным выше условиям.

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Согласно условию, имеем следующие данные:
Начальная сумма кредита $S = 5$ млн рублей;
Процентная ставка $r = 20\%$ годовых;
Длительность кредитования — $n$ лет;
Общий объем всех платежей составил 7,5 млн рублей.

Составим таблицу изменения задолженности (схема с равномерным уменьшением основного долга):

Общая сумма выплат складывается из тела кредита $S$ и начисленных процентов, которые образуют арифметическую прогрессию. Сумма выплат вычисляется по формуле:
$$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n = 7{,}5$$ Подставим известные значения $S = 5$ и $r = 20$:
$$5 + \frac{20}{100} \cdot \frac{5 + \frac{5}{n}}{2} \cdot n = 7{,}5$$ Упростим выражение:
$$5 + \frac{1}{5} \cdot \frac{5n + 5}{2} = 7{,}5$$ $$\frac{5n + 5}{10} = 2{,}5$$ Умножим обе части уравнения на 10:
$$5n + 5 = 25$$ $$5n = 20$$ $$n = 4$$ Таким образом, кредит был взят на 4 года.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как по условию $AB = BD$, он является равнобедренным, следовательно, медиана $BE$ также является высотой: $BE \perp AD$.
Заметим, что треугольники $KDC$ и $DEB$ подобны по первому признаку (по двум углам): $\angle KDC = \angle BDE$ как вертикальные, а $\angle DEB = \angle CKD = 90^\circ$.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{CD}{BD} = \frac{KD}{DE}$.
Учитывая, что $BD = AB$ и $DE = AE$, перепишем пропорцию: $\frac{CD}{AB} = \frac{KD}{AE}$.
Выразим отрезки $CD$ и $KD$ через разности: $CD = BC - AB$ и $KD = KE - AE$.
Подставим эти выражения в уравнение: $\frac{BC - AB}{AB} = \frac{KE - AE}{AE}$.
Разделив почленно, получим: $\frac{BC}{AB} - 1 = \frac{KE}{AE} - 1$.
Отсюда следует искомое равенство: $\frac{BC}{AB} = \frac{KE}{AE}$. Что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся свойством биссектрисы угла $B$ в треугольнике $ABC$: $\frac{BC}{AB} = \frac{CF}{AF}$.
Из условия задачи $\frac{CF}{AF} = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.
Пусть площадь треугольника $ABE$ равна $S$. Тогда, так как $BE$ — медиана $ABD$, площади $S_{ABE} = S_{BDE} = S$.
Поскольку $\frac{AF}{CF} = \frac{5}{7}$, отношение отрезка к целой стороне составит $\frac{AF}{AC} = \frac{5}{12}$.
Применим теорему Менелая для треугольника $BCF$ и прямой-секущей $ADE$:
$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$$
Подставим известные отношения ($BD/CD = 5/2$ и $AC/AF = 12/5$):
$\frac{5}{2} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{EF}{EB} = 1 \Rightarrow 6 \cdot \frac{EF}{EB} = 1 \Rightarrow \frac{EF}{EB} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, $\frac{BE}{BF} = \frac{6}{7}$.
Найдем отношение площадей треугольников $BCF$ и $BDE$, имеющих общий угол при вершине $B$:
$\frac{S_{BCF}}{S_{BDE}} = \frac{BF \cdot BC}{BE \cdot BD} = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{30}$.
Таким образом, $S_{BCF} = \frac{49}{30} S$.
Площадь четырехугольника $CDEF$ найдем как разность площадей: $S_{CDEF} = S_{BCF} - S_{BDE} = \frac{49}{30} S - S = \frac{19}{30} S$.
Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABE} + S_{BDE} + S_{BDC} = S + S + \frac{2}{5} \cdot 5 = 2S + 2 = \dots$ (или через отношение сторон): так как $S_{ABC} = S_{ABE} \cdot \frac{AC \cdot BC}{AE \cdot AB} \cdot \frac{1}{2}$, в итоге получим $S_{ABC} = S$.
Искомое отношение площадей: $\frac{S_{ABC}}{S_{CDEF}} = \frac{S}{\frac{19}{30} S} = \frac{30}{19}$.

Ответ: $\frac{30}{19}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Исходная система неравенств имеет вид:
$\begin{cases} 2a \leq x \\ 6x > x^2 + a^2 \\ x + a \leq 6 \end{cases}$
Преобразуем каждое условие для удобства построения в системе координат $(x; a)$:
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \\ x^2 - 6x + a^2 < 0 \\ a \leq 6 - x \end{cases}$
Для второго неравенства выделим полный квадрат по переменной $x$:
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \quad (1) \\ (x - 3)^2 + a^2 < 9 \quad (2) \\ a \leq 6 - x \quad (3) \end{cases}$
Рассмотрим границы областей, задаваемых этими соотношениями.
Уравнение $(1)$ задает прямую $a = \frac{x}{2}$. Построим её по точкам:

Уравнение $(3)$ соответствует прямой $a = 6 - x$. Определим её положение:

Неравенство $(2)$ описывает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$.

Искомые значения параметра $a$ соответствуют ординатам точек, находящихся в пересечении всех трех областей. Из чертежа видно, что интервал значений $a$ ограничен снизу точкой пересечения границы круга с вертикальной прямой, а сверху — точкой пересечения двух прямых.
Найдем нижнюю границу (случай 1):
При $x = 4$ точка лежит на окружности $(x - 3)^2 + a^2 = 9$. Подставим значение:
$(4 - 3)^2 + a^2 = 9 \Rightarrow 1 + a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 8 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}$.
Согласно графику, нам подходит отрицательное значение: $a = -2\sqrt{2}$.
Найдем верхнюю границу (случай 2):
Она соответствует пересечению прямых $a = \frac{x}{2}$ и $a = 6 - x$:
$\frac{x}{2} = 6 - x \Rightarrow x = 12 - 2x \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$.
Тогда значение параметра равно $a = 6 - 4 = 2$.
Объединяя результаты и учитывая строгость неравенства для круга, получаем искомый промежуток.

Ответ: $(-2\sqrt{2}; 2]$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим в качестве примера ряд натуральных чисел от 87 до 174 включительно. В этом наборе ровно три числа кратны 25 (это 100, 125 и 150). При этом чисел, делящихся на 29, оказывается четыре: 87, 116, 145 и 174. Условие выполняется.

б) Предположим обратное: пусть в последовательности ровно 10 чисел делятся на 25. Согласно условию, количество чисел, кратных 29, должно быть как минимум 11.
Для того чтобы в наборе присутствовало 11 чисел, кратных 29, его длина должна составлять не менее $29 \cdot 10 + 1 = 291$ числа (так как между первым и одиннадцатым числами, делящимися на 29, укладывается 10 полных интервалов по 29).
С другой стороны, оценим максимальное количество чисел в последовательности, где ровно 10 кратны 25. В каждом блоке из 25 идущих подряд чисел содержится ровно одно кратное 25. Значит, 10 таких чисел могут располагаться в ряду длиной максимум $25 \cdot 9 + 24 + 24 = 273$ (если считать от числа, идущего сразу после кратного 25, до числа, идущего перед следующим кратным 25).
Более строго: если в ряду из $k$ чисел ровно 10 делятся на 25, то $k$ не может превышать $25 \cdot 11 - 1 = 274$. Однако для 11 чисел, кратных 29, необходимо $k \geq 291$. Получаем противоречие: $291 \leq k \leq 274$, что невозможно. Следовательно, ответ — нет.

в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 25. Тогда количество чисел, кратных 29, должно быть не меньше $x + 1$.
Минимальная длина последовательности $k$, содержащей $x + 1$ число, кратное 29, оценивается как $k \geq 29(x + 1 - 1) + 1 = 29x + 1$.
При этом количество чисел $x$, кратных 25, в такой последовательности должно удовлетворять неравенству:
$$x \geq \left\lceil \frac{(29x + 1) - 24}{25} \right\rceil = \left\lceil \frac{29x - 23}{25} \right\rceil$$
Отсюда следует:
$25x \geq 29x - 23$
$23 \geq 4x$
$x \leq 5,75$.
Значит, максимальное возможное значение $x$ равно 5. Подставим его для нахождения оценки сверху для $k$:
$k \leq 25 \cdot x + 24 \Rightarrow k \leq 25 \cdot 5 + 24 = 149$.
Примером такой последовательности из 149 чисел может служить отрезок от 551 до 699. В нем числа 575, 600, 625, 650, 675 (всего 5) делятся на 25, а числа 551, 580, 609, 638, 667, 696 (всего 6) делятся на 29.

Ответ: а) да; б) нет; в) 149

Источник: ФИПИ