Вариант 8 · Май 2026

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62^{\circ} ,$ угол $CAD$ равен $41^{\circ} .$ Найдите угол $ABC .$ Ответ дайте в градусах.

Длины векторов $\overset{\rightarrow}{a}$ и $\overset{\rightarrow}{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение $\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b} .$

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8 °C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8 °C или выше.

Найдите корень уравнения $\frac{2}{7} x = - 5 \frac{1}{7} .$

Найдите значение выражения $\frac{2 \sin 136^{\circ}}{\sin 68^{\circ} \cdot \sin 22^{\circ}} .$

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_{0} = 60$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18$ км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2} ,$ где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой - за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображены графики функции видов $f \left(x\right) = \frac{k}{x}$ и $g \left(x\right) = ax + b ,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B .$ Найдите абсциссу точки $B .$

Найдите наибольшее значение функции $y = \ln \left(8 x\right) - 8 x + 7$ на отрезке $\left[\frac{1}{16} ; \frac{5}{16}\right] .$

а) Решите уравнение: $2 \sin ^{2} ( \frac{\pi}{2} - x ) + \sin 2 x = 0$
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $[ 3 \pi ; \frac{9 \pi}{2} \left]\right.$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD .$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O .$ Точки $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO .$
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если $AD = 10 , BC = 8 , SO = 8 ,$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD .$

Решите неравенство: $\frac{\log _{4} ( 16 x^{4} ) + 11}{\log _{4}^{2} ( x ) - 9} \geq - 1 .$

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD .$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E .$ Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK .$
а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK .$
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырехугольника $CDEF ,$ если $BD : DC = 5 : 2 .$

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} 2 a \leq x , \\ 6 x > x^{2} + a^{2} , \\ x + a \leq 6 \end{matrix}\right.$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[4 ; 5\right] .$

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в)  Найдите наибольшее возможное значение $k .$