Вариант 10 · Август 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $27^{x} - 4 \cdot 3^{x + 2} + 3^{5 - x} = 0$.
Преобразуем степени к основанию 3: $(3^3)^x - 4 \cdot 3^x \cdot 3^2 + \frac{3^5}{3^x} = 0$.
Получаем: $3^{3x} - 36 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0$.
Введем новую переменную $3^x = t$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0$.
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^4 - 36t^2 + 243 = 0$.
Для решения этого биквадратного уравнения выполним замену $t^2 = y$, где $y > 0$:
$y^2 - 36y + 243 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = 27$.
Вернемся к переменной $t$:
1) $t^2 = 9 \Rightarrow t = \pm 3$. Учитывая условие $t > 0$, оставляем $t = 3$.
2) $t^2 = 27 \Rightarrow t = \pm \sqrt{27}$. Учитывая условие $t > 0$, оставляем $t = \sqrt{27}$.
Теперь найдем значения $x$:
Если $3^x = 3$, то $x = 1$.
Если $3^x = \sqrt{27}$, то $3^x = 3^{\frac{3}{2}}$, откуда $x = 1,5$.

б) Проверим, какие из найденных корней попадают в интервал $[\log_7 4; \log_7 16]$.
Для корня $x = 1$:
Представим единицу как логарифм: $1 = \log_7 7$.
Так как основание логарифма $7 > 1$, то из неравенств $4 < 7$ и $7 < 16$ следует, что $\log_7 4 < \log_7 7 < \log_7 16$.
Значит, $x = 1$ принадлежит заданному отрезку.
Для корня $x = 1,5$:
Запишем число в виде логарифма: $\frac{3}{2} = \log_7 7^{1,5} = \log_7 \sqrt{343}$.
Сравним правую границу отрезка $\log_7 16$ с полученным числом. Заметим, что $16 = \sqrt{256}$.
Так как $\sqrt{343} > \sqrt{256}$, то $\log_7 \sqrt{343} > \log_7 16$.
Следовательно, $x = 1,5$ лежит правее указанного отрезка и не входит в него.
Ответ: а) $1; 1,5$; б) $1$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ является прямоугольником.
По условию: $AB = 5$, диагональ $BD = 9$, точка $F$ лежит на ребре $AS$.
Боковые ребра равны: $SA = SB = SC = SD = 5$.
Также заданы отрезки: $SF = 4$, $BE = 4$.
Сечение $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в некоторой точке $Q$.
а) 1) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^{2} = AB^{2} + AD^{2}$.
Отсюда $AD = \sqrt{9^{2} - 5^{2}} = \sqrt{56} = 2 \sqrt{14}$. Точка $O$ — центр прямоугольника, поэтому $DO = OB = AO = OC$.
2) Пусть прямая $CE$ пересекается с прямой $AB$ в точке $N$. Соединим $F$ и $N$.
3) Пусть прямая $CN$ пересекается с прямой $AD$ в точке $M$. Проведем прямую через $M$ и $F$, которая пересечет ребро $SD$ в точке $Q$.
4) Проанализируем планиметрию в плоскости основания $(ABC)$:

Углы $\angle DEM$ и $\angle CEB$ равны как вертикальные; $\angle ADM$ и $\angle DBC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых.
Следовательно, $\triangle DEM \sim \triangle BEC$. Из подобия имеем: $\frac{EB}{DE} = \frac{BC}{MD} = \frac{4}{5}$.
Подставим значения: $\frac{2 \sqrt{14}}{MA + 2 \sqrt{14}} = \frac{4}{5}$.
Решая уравнение, находим $MA = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
5) Рассмотрим треугольники $NAM$ и $NBC$: $\angle ANM = \angle CNB$ (вертикальные), $\angle NAM = \angle NBC = 90^{\circ}$.
Тогда $\triangle NAM \sim \triangle NBC$.
Отношение сторон: $\frac{AN}{NB} = \frac{AM}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{2 \sqrt{14}} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $NB = 4 AN$, то есть $AN : NB = 1 : 4$.
6) Поскольку $SA = 5$ и $SF = 4$, то $FA = 5 - 4 = 1$.
Заметим, что $\frac{AF}{SF} = \frac{1}{4}$ и $\frac{AN}{NB} = \frac{1}{4}$.
Так как отношения соответственных отрезков равны ($\frac{AF}{SF} = \frac{AN}{NB}$), то по теореме Фалеса (обратной) $FN \parallel SB$.
Следовательно, прямая $SB$ параллельна плоскости сечения $(CEF)$, что и требовалось доказать.
б) 7) Треугольники $ASC$ и $BSD$ равнобедренные, значит, медиана $SO$ является их высотой. Таким образом, $SO \bot AC$ и $SO \bot BD$, откуда следует, что $SO$ — высота всей пирамиды ($SO \bot (ABC)$).
8) Проведем перпендикуляр $QH$ из точки $Q$ к прямой $DB$. Длина $QH$ и будет искомым расстоянием.
9) Рассмотрим сечение $DSM$:

Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $DSA$ и прямой $MQF$:
$\frac{SF}{AF} \cdot \frac{AM}{DM} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$
$\frac{4}{1} \cdot \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\frac{5 \sqrt{14}}{2}} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$
Получаем $\frac{4}{5} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$, откуда $\frac{DQ}{QS} = \frac{5}{4}$.
Учитывая, что $DQ + QS = DS = 5$, имеем: $4 DQ = 5(5 - DQ) \Rightarrow 9 DQ = 25$.
$DQ = \frac{25}{9}$. Тогда отношение $\frac{DQ}{DS} = \frac{25}{9 \cdot 5} = \frac{5}{9}$.
10) Треугольники $DQH$ и $DSO$ подобны по двум углам ($\angle D$ — общий, углы при $H$ и $O$ прямые).
Из подобия: $\frac{QH}{SO} = \frac{DQ}{DS} = \frac{5}{9}$, то есть $QH = \frac{5}{9} SO$.
Найдем высоту $SO$ из $\triangle SOB$ по теореме Пифагора: $SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5^{2} - \left(\frac{9}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 - \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.
Итоговое расстояние: $QH = \frac{5}{9} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} = \frac{5 \sqrt{19}}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18} \sqrt{19}$

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Рассмотрим исходное логарифмическое неравенство: $$\log _{2} ( 4 x^{2} - 1 ) - \log _{2} x \leq \log _{2} \left(5 x + \frac{9}{x} - 11\right)$$ Используя свойства логарифмов (разность логарифмов заменим логарифмом частного), перейдем к сравнению аргументов, учитывая, что основание $2 > 1$: $$\frac{4 x^{2} - 1}{x} \leq 5 x + \frac{9}{x} - 11$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{4 x^{2} - 1}{x} - \frac{5 x^{2} - 11 x + 9}{x} \leq 0$$ Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства для удобства вычислений: $$\frac{5 x^{2} - 11 x + 9 - (4 x^{2} - 1)}{x} \geq 0$$ Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $$\frac{x^{2} - 11 x + 10}{x} \geq 0$$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители, найдя его корни ($1$ и $10$): $$\frac{(x - 10)(x - 1)}{x} \geq 0$$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$\begin{cases} 4 x^{2} - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 5 x + \frac{9}{x} - 11 > 0 \end{cases}$$ Решим систему условий: Из первого условия получаем $x^2 > \frac{1}{4}$, что дает $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0,5; +\infty)$. С учетом условия $x > 0$, получаем промежуток $x > \frac{1}{2}$. Третье условие при $x > \frac{1}{2}$ выполняется для всех допустимых значений переменной. Итоговое ограничение: $x > \frac{1}{2}$.

Решением рационального неравенства методом интервалов является множество: $x \in ( 0 ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )$
Теперь найдем пересечение полученного решения с установленным ограничением $x > \frac{1}{2}$:

Ответ: $( \frac{1}{2} ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Введем обозначения и выпишем условия:
Начальная сумма кредита $S = 1000000$ рублей (или $1000$ тыс. руб.);
Процентная ставка — $r \%$ в месяц;
Срок кредитования — $n + 1$ месяц;
Согласно условию, в течение первых $n$ месяцев остаток долга равномерно снижается на 40 тыс. руб. ежемесячно.
К концу $n$-го месяца остаток задолженности составляет 200 тыс. руб.
Общий объем всех выплат банку равен 1378 тыс. руб.

Составим таблицу движения денежных средств:

Найдем количество месяцев $n$, используя условие об остатке долга:
$S - 40n = 200$
Подставим $S = 1000$:
$1000 - 40n = 200$
$40n = 800$
$n = 20$.
Следовательно, кредит был взят на $n + 1 = 21$ месяц.

Общая сумма выплат состоит из суммы основного долга ($S$) и начисленных процентов. Сумма процентов представляет собой арифметическую прогрессию:
$1378 = S + \frac{r}{100} \cdot \sum \text{остатков долга}$
Сумма остатков за 21 месяц: $1000 + 960 + 920 + \dots + 200$.
Используем формулу суммы арифметической прогрессии для 21 члена:
$1378 = 1000 + \frac{r}{100} \cdot \left(\frac{1000 + 200}{2}\right) \cdot 21$
$378 = \frac{r}{100} \cdot 600 \cdot 21$
$378 = r \cdot 6 \cdot 21$
$378 = 126r$
$r = \frac{378}{126} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Исходя из свойств ромба $ABCD$, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, откуда получаем равенство углов при основании: $\angle CAB = \angle ACB$.
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $BNC$. По условию $AM = NC$, стороны ромба $AB = BC$, а углы $\angle MAB$ и $\angle MCB$ равны. Значит, $\triangle AMB = \triangle BNC$ по двум сторонам и углу между ними, откуда $MB = NB$.
Заметим, что $\triangle ABN \sim \triangle CQN$, так как $\angle BAN = \angle QCN$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$) и $\angle ANB = \angle QNC$ (вертикальные).
Учитывая, что $AN = 2 CN$ (так как $AC = AM + MN + NC$ и $AM=MN=NC$), коэффициент подобия равен $k = \frac{AN}{CN} = 2$. Тогда $\frac{AB}{CQ} = 2$, что означает, что $Q$ является серединой стороны $CD$. Отношение площадей этих треугольников равно $k^2 = 4$, то есть $S_{NQC} = \frac{1}{4} S_{ANB}$.
Аналогично доказывается подобие $\triangle CMB \sim \triangle AMP$, откуда следует, что $P$ — середина стороны $AD$, а $S_{AMP} = \frac{1}{4} S_{CMB}$.
Проведем диагональ $BD$. Она делит ромб на два равных треугольника: $S_{ABD} = S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ является медианой, так как $P$ — середина $AD$. Медиана делит треугольник на две равновеликие части: $S_{ABP} = S_{BPD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
По аналогии для треугольника $BCD$ получаем: $S_{BQC} = S_{DQB} = \frac{1}{2} S_{BCD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
Площадь четырехугольника $PDQB$ складывается из площадей треугольников $PDB$ и $DQB$:
$S_{PDQB} = S_{PDB} + S_{DQB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Так как площадь треугольника $ADC$ также составляет половину площади ромба ($S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$), то $S_{PDQB} = S_{ADC}$, что и требовалось доказать.

б) Соединим точки $D$ с $M$ и $N$.
В треугольнике $ADN$ точка $P$ — середина $AD$, а $M$ — середина $AN$ (так как $AM=MN$). Значит, $PM$ — средняя линия $\triangle ADN$, следовательно, $PM \parallel DN$. Аналогично в треугольнике $DMC$ отрезок $QN$ является средней линией, поэтому $QN \parallel DM$.
Поскольку пятиугольник $PQNMP$ вписан в окружность, то и четырехугольник $PMND$ также вписан. Так как $PM \parallel DN$, этот четырехугольник — вписанная трапеция, которая обязательно является равнобедренной. Отсюда $PD = MN$.
Аналогично $DQNM$ — равнобедренная трапеция, где $DQ = MN$. Таким образом, $PD = DQ = MN$.
По условию $AC = 2\sqrt{3}$. Так как точки $M$ и $N$ делят $AC$ на три равные части, то $MN = \frac{1}{3} AC = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Тогда $PD = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $P$ — середина $AD$, сторона ромба $AD = 2 PD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны и делятся точкой $O$ пополам: $AO = \frac{1}{2} AC = \sqrt{3}$ и $AO \perp OD$.
Из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора найдем $OD$:
$OD^2 = AD^2 - AO^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 - (\sqrt{3})^2 = \frac{48}{9} - 3 = \frac{16}{3} - \frac{9}{3} = \frac{7}{3}$.
$OD = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$.
Тогда длина всей диагонали $DB = 2 \cdot OD = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
1) Введем новую переменную $t = x + \frac{9}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$: $at^{2} - 2t - 49a + 14 = 0$.
Исследуем функцию $t(x) = x + \frac{9}{x}$:
Для положительных $x > 0$, согласно неравенству о средних, $t \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$, причем минимум $t = 6$ достигается в точке $x = 3$.
Для отрицательных $x < 0$, аналогично, $t \leq -6$, причем максимум $t = -6$ достигается в точке $x = -3$.
Таким образом, область допустимых значений переменной $t$ представляет собой объединение лучей: $t \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
2) Связь между $x$ и $t$ выражается уравнением $x^2 - tx + 9 = 0$.
Его дискриминант равен $D = t^2 - 36$.
Отсюда следует:
— если $|t| > 6$, то уравнение имеет два различных действительных корня $x$;
— если $t = 6$ или $t = -6$, то уравнение имеет ровно один корень $x$;
— если $|t| < 6$, то действительных корней $x$ нет.
3) Перейдем к решению уравнения $at^2 - 2t - 49a + 14 = 0$.
Рассмотрим случай $a = 0$: уравнение становится линейным $-2t + 14 = 0$, откуда $t = 7$. Поскольку $7 \in [6; +\infty)$, это значение дает два различных корня $x$.
Если $a \neq 0$, найдем корни через дискриминант:
$D = 4 - 4a(-49a + 14) = 4(49a^2 - 14a + 1) = 4(7a - 1)^2 = (2|7a - 1|)^2$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{2 \pm 2|7a - 1|}{2a} = \frac{1 \pm |7a - 1|}{a}$.
4) Раскрывая модуль, получаем два значения: $t_1 = 7$ и $t_2 = \frac{2 - 7a}{a}$.
5) Проверим, при каких $a$ корень $t_2$ попадает в область $|t| \geq 6$.
Для $a > 0$:
Условие $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6$ выполняется при $a \leq \frac{2}{13}$.
Условие $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6$ выполняется при $a \geq 2$.
Значит, при $a \in (0; \frac{2}{13}] \cup [2; +\infty)$ корень $t_2$ дает хотя бы один корень $x$.
Для $a < 0$:
Неравенство $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6$ не имеет решений.
Неравенство $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6$ выполняется для всех $a < 0$.
Следовательно, при $a < 0$ значение $t_2$ всегда меньше $-6$.
6) Корень $t_1 = 7$ всегда дает ровно два значения $x$.
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы второй корень $t_2$ либо совпадал с $t_1$, либо не давал новых корней $x$ (то есть $|t_2| < 6$).
7) Случай совпадения: $t_2 = 7 \Rightarrow \frac{2 - 7a}{a} = 7 \Rightarrow a = \frac{1}{7}$.
Случай отсутствия корней у $t_2$: $|t_2| < 6$.
Это условие $-6 < \frac{2 - 7a}{a} < 6$ при $a > 0$ приводит к интервалу $\frac{2}{13} < a < 2$.
При $a < 0$ условие $|t_2| < 6$ никогда не выполняется.
8) Объединяя найденные значения $a = 0$, $a = \frac{1}{7}$ и интервал $(\frac{2}{13}; 2)$, получаем искомое множество.