Разбор задачи:
Введем обозначения и выпишем условия:
Начальная сумма кредита $S = 1000000$ рублей (или $1000$ тыс. руб.);
Процентная ставка — $r \%$ в месяц;
Срок кредитования — $n + 1$ месяц;
Согласно условию, в течение первых $n$ месяцев остаток долга равномерно снижается на 40 тыс. руб. ежемесячно.
К концу $n$-го месяца остаток задолженности составляет 200 тыс. руб.
Общий объем всех выплат банку равен 1378 тыс. руб.

Составим таблицу движения денежных средств:

Месяц	Остаток долга (до начисления %)	Долг с учетом %	Размер выплаты	Остаток долга (после выплаты)
1	$S$	$S \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{S \cdot r}{100} + 40$	$S - 40$
2	$S - 40$	$(S - 40) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - 40) \cdot r}{100} + 40$	$S - 80$
...	...	...	...	...
$n$	$S - (n - 1) \cdot 40$	$(S - (n - 1) \cdot 40) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - (n - 1) \cdot 40) \cdot r}{100} + 40$	$S - 40n$
$n + 1$	$200$	$200 \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$200 + \frac{200 \cdot r}{100}$	0

Найдем количество месяцев $n$, используя условие об остатке долга:
$S - 40n = 200$
Подставим $S = 1000$:
$1000 - 40n = 200$
$40n = 800$
$n = 20$.
Следовательно, кредит был взят на $n + 1 = 21$ месяц.

Общая сумма выплат состоит из суммы основного долга ($S$) и начисленных процентов. Сумма процентов представляет собой арифметическую прогрессию:
$1378 = S + \frac{r}{100} \cdot \sum \text{остатков долга}$
Сумма остатков за 21 месяц: $1000 + 960 + 920 + \dots + 200$.
Используем формулу суммы арифметической прогрессии для 21 члена:
$1378 = 1000 + \frac{r}{100} \cdot \left(\frac{1000 + 200}{2}\right) \cdot 21$
$378 = \frac{r}{100} \cdot 600 \cdot 21$
$378 = r \cdot 6 \cdot 21$
$378 = 126r$
$r = \frac{378}{126} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ