Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на $( n + 1 )$ месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с июнем предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу $( n + 1 )$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r ,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Разбор задачи:
Введем обозначения и выпишем условия:
Начальная сумма кредита $S = 1000000$ рублей (или $1000$ тыс. руб.);
Процентная ставка — $r \%$ в месяц;
Срок кредитования — $n + 1$ месяц;
Согласно условию, в течение первых $n$ месяцев остаток долга равномерно снижается на 40 тыс. руб. ежемесячно.
К концу $n$ -го месяца остаток задолженности составляет 200 тыс. руб.
Общий объем всех выплат банку равен 1378 тыс. руб.

Составим таблицу движения денежных средств:

Месяц	Остаток долга (до начисления %)	Долг с учетом %	Размер выплаты	Остаток долга (после выплаты)
1	$S$	$S \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{S \cdot r}{100} + 40$	$S - 40$
2	$S - 40$	$(S - 40) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - 40) \cdot r}{100} + 40$	$S - 80$
...	...	...	...	...
$n$	$S - (n - 1) \cdot 40$	$(S - (n - 1) \cdot 40) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{(S - (n - 1) \cdot 40) \cdot r}{100} + 40$	$S - 40n$
$n + 1$	$200$	$200 \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$200 + \frac{200 \cdot r}{100}$	0

Найдем количество месяцев $n$ , используя условие об остатке долга:
$S - 40n = 200$
Подставим $S = 1000$ :
$1000 - 40n = 200$
$40n = 800$
$n = 20$ .
Следовательно, кредит был взят на $n + 1 = 21$ месяц.

Общая сумма выплат состоит из суммы основного долга ( $S$ ) и начисленных процентов. Сумма процентов представляет собой арифметическую прогрессию:
$1378 = S + \frac{r}{100} \cdot \sum \text{остатков долга}$
Сумма остатков за 21 месяц: $1000 + 960 + 920 + \dots + 200$ .
Используем формулу суммы арифметической прогрессии для 21 члена:
$1378 = 1000 + \frac{r}{100} \cdot \left(\frac{1000 + 200}{2}\right) \cdot 21$
$378 = \frac{r}{100} \cdot 600 \cdot 21$
$378 = r \cdot 6 \cdot 21$
$378 = 126r$
$r = \frac{378}{126} = 3$ .

Ответ: 3

Источник: ФИПИ