Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Дана функция: $y = x^{\frac{3}{2}} - 21x + 11$.
Для поиска точек экстремума сначала вычислим производную данной функции:
$$y'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 21 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 21.$$
Приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 21 = 0$
$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 21$
$\sqrt{x} = 14$
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем:
$x = 196.$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой и характер изменения функции:

Исходя из схемы, при переходе через значение $x = 196$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это и есть искомая точка минимума.

Ответ: 196

Источник: ФИПИ