Решение:
Дана функция: $y = x^{\frac{3}{2}} - 18x + 29$.
Для поиска точек экстремума вычислим производную данной функции:
$y'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 18 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 18$.
Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 18 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 18$$ Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$: $$\sqrt{x} = 12$$ Возведя обе части в квадрат, получаем: $$x = 144$$ Проанализируем знаки производной на числовой прямой и характер изменения функции:

Из схемы видно, что при переходе через значение $x = 144$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума: $x = 144$.

Ответ: 144

Источник: ФИПИ