Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точки минимума функции сначала вычислим её производную:

$$y' = \left( 2x - \ln(x + 8)^2 \right)' = 2 - \frac{1}{(x + 8)^2} \cdot 2(x + 8) = 2 - \frac{2}{x + 8}.$$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$$y' = \frac{2(x + 8) - 2}{x + 8} = \frac{2x + 16 - 2}{x + 8} = \frac{2x + 14}{x + 8}.$$

Определим критические точки, в которых производная обращается в нуль:

$$\frac{2x + 14}{x + 8} = 0 \implies 2x + 14 = 0 \implies x = -7.$$

Заметим, что при $x < -7$ (из области определения $x > -8$) производная отрицательна, а при $x > -7$ — положительна. Так как в точке $x = -7$ знак производной меняется с «минуса» на «плюс», данная точка является точкой минимума функции.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ