Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Данная задача относится к теме «Геометрическая прогрессия», так как масса изотопа изменяется в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим количество циклов распада. По условию масса уменьшается вдвое каждые $7$ минут. Нам нужно узнать, что произойдет через $42$ минуты.
Разделим общее время на период полураспада:
$n = 42 : 7 = 6$ (раз).
Это значит, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $6$ раз.

2. Составим последовательность значений массы.
Пусть $b_1 = 640$ мг — начальная масса изотопа.
Так как масса уменьшается вдвое, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

3. Нам нужно найти массу после 6-го уменьшения. В терминах прогрессии это будет её 7-й член (так как $b_1$ — это масса в момент времени 0, $b_2$ — через 7 минут и так далее).
Воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^n$, где $n$ — количество циклов распада.
В нашем случае:
$b_7 = 640 \cdot (\frac{1}{2})^6$.

4. Выполним вычисления:
Возведем $\frac{1}{2}$ в шестую степень:
$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим начальную массу на полученный результат:
$640 \cdot \frac{1}{64} = \frac{640}{64} = 10$ (мг).

Ответ: 10

Источник: ФИПИ