Задание №15 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а медиана, проведённая к стороне, также является биссектрисой и высотой. На рисунке изображён равносторонний треугольник с проведённой медианой, которая перпендикулярна основанию.

2) Пусть сторона треугольника равна $a = 16\sqrt{3}$. Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, в основании образуются два равных отрезка, каждый из которых равен:
$\frac{a}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой (катет $m$), половиной стороны (катет $8\sqrt{3}$) и боковой стороной (гипотенуза $16\sqrt{3}$).

4) По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$m^2 + (8\sqrt{3})^2 = (16\sqrt{3})^2$.

5) Вычислим квадраты величин:
$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$;
$(16\sqrt{3})^2 = 16^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 256 \cdot 3 = 768$.

6) Подставим значения в уравнение:
$m^2 + 192 = 768$;
$m^2 = 768 - 192$;
$m^2 = 576$.

7) Найдём значение медианы $m$:
$m = \sqrt{576} = 24$.

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой высоты (медианы) равностороннего треугольника: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$m = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ