Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним важное свойство равностороннего треугольника: в таком треугольнике медиана, проведённая к стороне, также является его высотой и биссектрисой. Это значит, что медиана образует с основанием прямой угол ($90^{\circ}$).

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a = 10 \sqrt{3}$. Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, основание треугольника делится на два равных отрезка длиной:
$\frac{a}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны основания и боковой стороной исходного треугольника. В этом треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 10 \sqrt{3}$;
— один катет равен половине стороны: $b = 5 \sqrt{3}$;
— второй катет — это искомая медиана $m$.

4. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($m^2 + b^2 = c^2$).
Подставим наши значения:
$m^2 + (5 \sqrt{3})^2 = (10 \sqrt{3})^2$.

5. Выполним возведение в квадрат:
$(5 \sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$;
$(10 \sqrt{3})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 100 \cdot 3 = 300$.

6. Теперь найдём квадрат медианы:
$m^2 + 75 = 300$;
$m^2 = 300 - 75$;
$m^2 = 225$.

7. Извлечём корень:
$m = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ