Задание №15 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^\circ$. Кроме того, биссектриса, проведённая к любой стороне, также является медианой и высотой.

2) Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Биссектриса (она же высота) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3) В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
— один из катетов — это биссектриса, равная $12\sqrt{3}$;
— угол, противолежащий этому катету, равен $60^\circ$ (так как это угол равностороннего треугольника).

4) Воспользуемся определением синуса: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Запишем это для нашего случая:
$\sin 60^\circ = \frac{12\sqrt{3}}{a}$

5) Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{a}$

6) Выразим $a$, используя свойство пропорции (перемножим крест-накрест):
$a \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 12\sqrt{3}$
$a \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

7) Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$a = 24$

Таким образом, сторона треугольника равна 24.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ