Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что выражение $a^{2} + 12ab + 36b^{2}$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. Сопоставим наше выражение с формулой:
— Первый член: $a^{2}$ — это квадрат числа $a$.
— Последний член: $36b^{2}$ — это квадрат числа $6b$, так как $(6b)^{2} = 36b^{2}$.
— Средний член: $12ab$ — это удвоенное произведение $a$ и $6b$, так как $2 \cdot a \cdot 6b = 12ab$.
Следовательно, $a^{2} + 12ab + 36b^{2} = (a + 6b)^{2}$.

3. Подставим упрощённое выражение под знак корня: $\sqrt{(a + 6b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, наше выражение равно $|a + 6b|$.

4. Теперь подставим значения переменных $a = 7 \frac{2}{5}$ и $b = \frac{3}{5}$ в полученное выражение:
Сначала вычислим произведение $6b$:
$6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$.
Переведём это в смешанное число: $\frac{18}{5} = 3 \frac{3}{5}$.

5. Найдём сумму $a + 6b$:
$7 \frac{2}{5} + 3 \frac{3}{5} = (7 + 3) + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) = 10 + \frac{5}{5} = 10 + 1 = 11$.

6. Так как число $11$ положительное, то $|11| = 11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ