Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^\circ$. Кроме того, медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Медиана (она же высота) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
— один из катетов — это половина стороны исходного треугольника, то есть $\frac{a}{2}$ (так как медиана делит сторону пополам);
— второй катет — это сама медиана, длина которой по условию равна $12\sqrt{3}$.

4. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$(\frac{a}{2})^2 + (12\sqrt{3})^2 = a^2$

5. Выполним возведение в квадрат:
$\frac{a^2}{4} + 144 \cdot 3 = a^2$
$\frac{a^2}{4} + 432 = a^2$

6. Перенесём слагаемые с $a^2$ в одну сторону уравнения:
$a^2 - \frac{a^2}{4} = 432$
$\frac{3a^2}{4} = 432$

7. Выразим $a^2$:
$3a^2 = 432 \cdot 4$
$3a^2 = 1728$
$a^2 = 1728 : 3$
$a^2 = 576$

8. Найдём сторону $a$, извлекая корень из полученного числа:
$a = \sqrt{576}$
$a = 24$

Ответ: 24

Источник: ФИПИ