Задание №15 — Геометрия

Решение.

На рисунке изображён равносторонний треугольник, в котором проведена высота. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а высота также является медианой и биссектрисой.

Пусть сторона треугольника равна $a = 16\sqrt{3}$. Обозначим высоту через $h$.

Способ 1: Через прямоугольный треугольник.
Высота делит основание треугольника пополам. Таким образом, катет прямоугольного треугольника равен половине стороны:
$\frac{a}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной стороны и боковой стороной:
$h^2 + (8\sqrt{3})^2 = (16\sqrt{3})^2$
$h^2 + 64 \cdot 3 = 256 \cdot 3$
$h^2 = 256 \cdot 3 - 64 \cdot 3$
$h^2 = 192 \cdot 3$
$h^2 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$.

Способ 2: По готовой формуле.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значение стороны $a = 16\sqrt{3}$ в формулу:
$h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$.
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{16 \cdot 3}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ