Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Нам дан равносторонний (правильный) треугольник. В таком треугольнике все стороны равны между собой, а каждый угол составляет $60^\circ$. Пусть сторона треугольника $a = 10\sqrt{3}$.

2. Проведём высоту $h$ к основанию треугольника. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Это значит, что высота делит основание пополам.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. В этом треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 10\sqrt{3}$;
— один из катетов равен половине стороны: $b = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$;
— второй катет — это искомая высота $h$.

4. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$h^2 + (5\sqrt{3})^2 = (10\sqrt{3})^2$

5. Вычислим квадраты значений:
$(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$
$(10\sqrt{3})^2 = 100 \cdot 3 = 300$

6. Подставим полученные числа в уравнение:
$h^2 + 75 = 300$
$h^2 = 300 - 75$
$h^2 = 225$

7. Найдём высоту, извлекая корень из $225$:
$h = \sqrt{225} = 15$

Альтернативный способ: можно воспользоваться готовой формулой высоты равностороннего треугольника $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим $a = 10\sqrt{3}$:
$h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ