Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим угол $B$ параллелограмма $ABCD$. По условию диагональ $BD$ делит этот угол на две части, равные $50^\circ$ и $85^\circ$. Следовательно, весь угол $ABC$ равен сумме этих углов:
$\angle ABC = 50^\circ + 85^\circ = 135^\circ$.

2) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Это свойство следует из того, что противоположные стороны параллелограмма параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), а углы при одной стороне являются односторонними при параллельных прямых и секущей.

3) Найдём угол $A$, который является соседним для угла $B$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$;
$\angle A = 180^\circ - \angle ABC$;
$\angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

4) Мы получили два значения углов параллелограмма: $135^\circ$ и $45^\circ$. Так как в параллелограмме противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$), то углы данного параллелограмма равны $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$. Сравнивая их, видим, что меньший угол равен $45^\circ$.

Ответ: 45

Источник: ФИПИ