Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойство равностороннего треугольника: в таком треугольнике медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой. Это значит, что медиана образует с основанием прямой угол ($90^{\circ}$).

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a = 14\sqrt{3}$. Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, в котором:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 14\sqrt{3}$;
— один из катетов равен половине стороны: $b = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$;
— второй катет является искомой медианой $m$.

3. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$m^2 + (7\sqrt{3})^2 = (14\sqrt{3})^2$

4. Выполним возведение в квадрат:
$(7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
$(14\sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$

5. Подставим полученные значения в уравнение:
$m^2 + 147 = 588$
$m^2 = 588 - 147$
$m^2 = 441$

6. Найдём значение медианы, извлекая корень из $441$:
$m = \sqrt{441} = 21$

Альтернативный способ: можно воспользоваться готовой формулой высоты (медианы) равностороннего треугольника: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим $a = 14\sqrt{3}$:
$m = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ