Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами степеней. Сначала упростим выражение в буквенном виде, а затем подставим числовые значения.

1) Рассмотрим числитель: $a^{17} \cdot (b^{5})^{3}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(b^{5})^{3} = b^{5 \cdot 3} = b^{15}$.
Таким образом, числитель равен $a^{17} \cdot b^{15}$.

2) Рассмотрим знаменатель: $(a \cdot b)^{15}$.
При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^{15} = a^{15} \cdot b^{15}$.

3) Запишем всё выражение целиком и сократим его:
$\frac{a^{17} \cdot b^{15}}{a^{15} \cdot b^{15}}$.
Заметим, что множитель $b^{15}$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому на него можно сократить. Остаётся:
$\frac{a^{17}}{a^{15}}$.

4) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
$\frac{a^{17}}{a^{15}} = a^{17 - 15} = a^{2}$.

5) Теперь подставим значение $a = 7$ в упрощённое выражение:
$a^{2} = 7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$.
Значение $b = \sqrt{7}$ нам не понадобилось, так как переменная $b$ полностью сократилась в процессе упрощения.

Ответ: 49

Источник: ФИПИ