Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OC$ и $OB$ — её радиусами. Следовательно, $OC = OB$, и треугольник $BOC$ является равнобедренным.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, угол $OBC$ равен углу $OCB$. По условию задачи угол $ACB$ (он же $OCB$) равен $54^\circ$. Таким образом, $\angle OBC = \angle OCB = 54^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

4) Углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров $AC$ и $BD$). По свойству вертикальных углов они равны между собой.

5) Следовательно, $\angle AOD = \angle BOC = 72^\circ$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ